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Mathematik

Länge mal Breite und noch viel mehr

Aufgaben drücken das zugrunde liegende Lernverständnis aus. Zu einer guten Aufgabenkultur gehört auch, dass Aufgaben im Sinne dieses Lernverständnisses wahrgenommen und umgesetzt werden.

Werner Jundt

Die Aufgaben oben sind einer «Aufgabensammlung für das Mündliche Rechnen» aus dem Jahr 1917 entnommen. Es geht um Rechtecksberechnungen, konkret um das Anwenden von Formeln. Auch das Rechnen mit Grössen spielt eine Rolle. Und der grösste Stolperstein dürfte die Multiplikation von Brüchen sein.

Damals wie heute gehört das Berechnen von Rechtecken zum Kanon der Mittelstufe. Und natürlich finden sich auch in aktuellen Lehrmitteln Aufgaben zur Anwendung von Formelwissen. Dass aber mit «Rechteckige Figuren berechnen» (Lehrplan des Kantons Bern) mehr gemeint ist – und schon vor 25 Jahren mehr gemeint war –, zeigt ein Blick in ein Lehrmittel von 1987. Da geht es zum Beispiel darum, Figuren zuerst der Fläche nach und dann dem Umfang nach zu ordnen und festzustellen, dass die Reihenfolge nicht die gleiche ist.

Besonders aufschlussreich ist die Aufgabe 903. Anders als in der Aufgabe von 1917 werden Fläche und Umfang nicht unabhängig voneinander betrachtet. Und anders als dort führt hier keine Formel zur Lösung. Gefragt sind die Auseinandersetzung mit einem System und das Erforschen von Zusammenhängen. Die Aufgabe fordert dazu auf, Mathematik zu betreiben. Eine gute Aufgabe – warum? Sie hat operatives Potenzial. Sie zwingt dazu, mit den Figuren umzugehen, sie zu verändern und aus der Veränderung Schlüsse zu ziehen.

Was Menschen umtreibt, sind nicht Fakten und Daten, sondern Gefühle, Geschichten und vor allem andere Menschen.

Ein Handlungsaspekt im Deutschschweizer Mathematiklehrplan 21 heisst «Erforschen und Argumentieren». Damit wird zur offiziellen Forderung, was schon lange ein didaktisches Anliegen war. An Aufgabenstellungen für einen Unterricht, der dieser Forderung gerecht wird, mangelt es nicht. Aber die Kultur, in der solche Aufgaben wurzeln, ist eine andere als die Kultur des «Zahlen in Formeln Einsetzens». Auch gehört zu dieser Kultur nicht das Verständnis, eine Aufgabe sei fertig, wenn die Lösung vorliegt. Das operative Potenzial einer Aufgabe zeigt sich gerade darin, dass ihre Lösungen neue Fragen generieren. Wie gross kann denn der Flächeninhalt bei 18cm Umfang überhaupt sein? Und wie gross ist der Umfang bei 16cm2 Flächeninhalt mindestens – und höchstens? Und wie ist das bei nicht rechteckigen Figuren?

Das führt zur Geschichte der phönizischen Prinzessin Dido, der Gründerin von Karthago. In die Gegend des heutigen Tunis geflüchtet soll sie – so die Legende – von den Numidern so viel Land erhalten haben, als sie mit einer Ochsenhaut umspannen konnte. Dido schnitt die Haut in dünnste Streifen, knüpfte diese zu einer Leine und begrenzte damit eine Fläche, gross genug um eine Stadt zu gründen. – Welche Form wählt Dido, damit ihr Landstück möglichst gross wird? Spielt es eine Rolle, ob das Gebiet im Landesinnern liegt oder an der Küste, wenn sie die Küstenlinie nicht bespannen muss? Wir sind beim isoperimetrischen Problem. Nichts für die Volksschule, wenn es ums Beweisen geht. Sehr wohl etwas für die Volksschule, wenn es ums Fragen, Experimentieren, Hypothesen-Bilden und Überprüfen geht. Genau das meint der Lehrplan 21 mit «Erforschen und Argumentieren».

Dass die Aufgabe eine gute ist, liegt auch an Dido. «Was Menschen umtreibt, sind nicht Fakten und Daten, sondern Gefühle, Geschichten und vor allem andere Menschen.» Das schreibt der Hirnforscher Manfred Spitzer. Gute Aufgaben haben emotionales Potenzial. Das kann die Anknüpfung an eine Person sein, mit der man sich identifizieren kann. Oder eine irritierende Formulierung, die einen sticht, wie zum Beispiel: «Schneide eine Öffnung in eine Postkarte und steige hindurch!» Was soll das? – Es ist eigentlich noch einmal die gleiche Aufgabe, anders gestellt. Und so verlangt sie einen anderen Zugang.  Wenn man die Postkarte wie in der Figur 1 aufschneidet, kann man die Hand hindurchstrecken. Mit ein paar Schnitten mehr – wie in der Figur 2 – reicht es schon für den Kopf. Wie lässt sich das weiterführen?  Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Beziehungen, insbesondere zwischen Längen, Flächen und Volumen, erforschen, Vermutungen formulieren und Erkenntnisse austauschen», steht im Lehrplan 21. Das Rechnen soll nicht zu kurz kommen. Wie lang ist der Rand der so zugeschnittenen Karte? Ist es besser, das Muster der Höhe nach oder der Breite nach in die Karte zu schneiden?  Viele Inhalte des neuen Lehrplans sind in den Lehrmitteln längst vorhanden. Wie Letztere genutzt werden, ist eine Frage der Aufgabenkultur. Welche Aufgaben wähle ich aus und was mache ich damit? Lehrmittel sind Kulturträger. Lehrpersonen sind Kulturtäter. 

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