farbwelt

Teil 2

Spielend Mathematik erforschen

Zu Beginn der Unterrichtssequenz haben die Schülerinnen und Schüler einer 5. Klasse erste Erfahrungen mit Spielwürfeln gemacht, deren Augenzahlen sie selbst abändern durften (siehe profil 1/15). In einem zweiten Teil geht es nun darum, diese genauer zu untersuchen. Von Hansruedi Hediger.

Fragen und Antworten

Als Anknüpfung an das früher Erlebte werden zuerst die damals gestellten Fragen beantwortet. Viele bewegt die Frage von Yara: Gibt es wirklich einen stärksten Würfel? Sie soll durch die Schülerinnen und Schüler selbst beantwortet werden. Aus den gemachten Erfahrungen wissen sie bereits, dass sehr unterschiedlich «bestückte» Würfelseiten (z. B. 18, 2, 1, 0, 0, 0) eher schwache Würfel ergeben. Oder dass regelmässiger verteilte Augenzahlen häufiger zum Erfolg führen.

Spezielle Wüfel – die efronschen Würfel

Nun stellt die Lehrperson den Schülerinnen und Schülern folgende vier Würfel vor: Nach kurzer Diskussion sind die Meinungen in der Klasse gemacht. «Der gelbe Würfel hat nur 16 Augen; der ist wohl nicht so gut.» – «Der grüne hat am meisten Augen.» – «Aber beim roten sind sie besser verteilt; der kann damit vier grüne Seiten schlagen.» – «Blau hat eine schlechte Verteilung.»

Jedes Kind beklebt einen Würfel mit der gewählten Farbe und malt die entsprechenden Augen auf die sechs Flächen. Die Lehrperson wählt den gelben Würfel und überredet zwei Schülerinnen, ebenfalls gelb zu nehmen, da sich niemand freiwillig dazu bewegen lässt.

In den folgenden vier bis fünf Spielrunden versucht jede Schülerin und jeder Schüler, gegen möglichst viele andere Farben zu spielen. An der Wandtafel werden laufend die Resultate in einer Strichliste eingetragen.

Das Ergebnis ist klar: Es gibt keinen eindeutig stärkeren Würfel. Jeder schlägt auch andere Würfel, und dies scheint kein Zufall zu sein.

Warum ist das so?

Für das weitere Vorgehen erläutert die Lehrperson, wie man die 36 Wurfmöglichkeiten mit zwei Würfeln in einem Raster darstellen kann. Auf vorbereiteten Blättern untersuchen die Schüler und Schülerinnen anschliessend in Gruppen die verschiedenen Kombinationen, bestimmen den jeweils stärkeren Würfel und kommen so gemeinsam zu einem erstaunlichen Resultat:

Der grüne Würfel schlägt den blauen Würfel, dieser wiederum schlägt den gelben. Der gelbe Würfel schlägt den roten und der rote den grünen usw. Jeder Würfel kann also einen anderen schlagen.

Die Frage von Yara ist somit beantwortet: Es gibt – zumindest für dieses Beispiel – keinen stärksten Würfel. Man findet zu einem Würfel immer einen, der noch besser ist.

Entsprechende Untersuchungen unter Einbezug eines «normalen» Würfels können zum Beispiel mit diesen drei Würfeln gemacht werden: [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 6, 6, 6, 3, 0, 0 ] und [ 6, 6, 6, 1, 1, 0 ].

Durch Spielen und anschliessendes Forschen und Analysieren sind die Schülerinnen und Schüler selbst zu neuen Erkenntnissen und Antworten gekommen. Und es hat erst noch Spass gemacht.

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