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Du sollst dir ein Bildnis machen

Gerade weil Mathematik eine abstrakte Materie ist, sind beim Mathematik-­Lernen Gestaltungsprozesse unabdingbar. Je nach gewähltem Medium kann eine bestimmte Problemstellung in ganz verschiedenen Schuljahren behandelt werden. Von Werner Jundt.

 

Für mathematisches Denken gilt Piagets «penser c’est opérer», Denken ist Handeln. Mathematische Operationen sind Abkömmlinge äusserer Tätig­keiten.

 

Mathematik findet im Kopf statt. Ausgebildetes mathematisches Denken braucht weder reale Dinge oder Darstellungen noch innere Bilder. Aber auch – und vor allem – für mathematisches Denken gilt Piagets «penser c’est opérer», Denken ist Handeln. Mathematische Operationen sind Abkömmlinge äusserer Tätig­keiten – verinnerlicht in einem langen, von verschiedenen Medien gestützten Prozess. Alle auf dem Weg von der konkreten Handlung zur gedachten Operation realisierten Repräsentationen sind Gestaltungsleistungen. Abstrahieren muss gelernt werden. Dieser Lernprozess beginnt im Konkreten und ist auf Gestaltungsmöglichkeiten angewiesen.

Im neuen Lehrplan wird der Handlungsaspekt «Mathematisieren und Darstellen» wie folgt charakterisiert:

Beim Mathematisieren werden Situationen und Texte in Skizzen, Operationen und Terme übertragen. Umgekehrt gilt es, Operationen, Terme und Skizzen zu konkretisieren bzw. zu veranschaulichen. [ … ]
Das Darstellen von Erkenntnissen erfolgt sprachlich, bildhaft, grafisch abstrakt und formal oder auch konkret mit Gegenständen und Handlungen. [ … ]

(Lehrplan 21, Mathematik, strukturelle und inhaltliche Hinweise)

Ein bestimmter Sachverhalt kann ganz unterschiedlich mathematisiert werden, insbesondere mehr oder weniger abstrakt. Das macht ihn für Lernende verschiedener Lernstufen zugänglich und löst ihn aus der meist engen Jahrgangs-Zuordnung, die inhaltsorientierte Lehrpläne vorgeben. Am Beispiel einer populären Aufgabe aus einem alten Algebrabüchlein soll das illustriert werden.

Elefanten, Strausse tanzen
Rüssel, Schnäbel, zwölf im Ganzen
und drei volle Dutzend Bein
die des Dompteurs mit darein.

Rudolf Pfister

Ursprünglich war die Aufgabe fürs 7. oder 8. Schuljahr gedacht, als Problemstellung zum Lösen von Textaufgaben mithilfe von Gleichungen mit einer Variablen. Der anvisierte Lösungsansatz sah etwa so aus:

x: Anzahl Elefanten 4x + 2(12–x) + 2 = 36

Es sind aber viel konkretere Modellierungen denkbar, dank derer das Problem schon für Schülerinnen und Schüler der ersten Schuljahre zu einem sinnvollen Lernanlass wird.

Zum Beispiel kann mit einem passenden Kartenset (je 12 Strausse und Elefanten, 1 Dompteur) der Sachverhalt experimentell rekonstruiert werden (Abb. 1). Dabei sind die sprachliche Beschreibung der Handlungen und die abschliessende Reflexion wichtige Elemente des Lösungsprozesses.

Noch konkreter kann die Szene mit Figuren aus Knetmasse und Streichholzbeinen dargestellt werden (Abb. 2). Dabei werden die zwölf Tierkörper provisorisch mit je zwei Beinen bestückt. Mit den übrig bleibenden Beinen können Zweibeiner zu Vierbeinern aufgerüstet werden. Es ergeben sich so 5 «Elefanten» und 7 «Strausse». Die gleichen Überlegungen können aber auch als Skizze festgehalten werden (Abb. 3).

Auf der Mittelstufe bietet sich eine Darstellung in einer Tabelle an. Darin kann die Lösung (mit 34 Beinen) direkt abgelesen werden (Abb. 4).

Aus einer Wertetabelle kann später auch eine grafische Darstellung abgeleitet werden. In der x-Richtung tragen wir die Anzahl Elefanten ein, in der y-Richtung die Anzahl Strausse.

Die ersten beiden Zeilen in der Tabelle entsprechen der Geraden x + y = 12 in der Grafik. Eine zweite Gerade für die Bedingung der Beine liefert als Schnittpunkt die Lösung: 5 Elefanten, 7 Strausse (Abb. 5).

Wenn wir aber eine rein symbolische, algebraische Darstellung suchen, kommt eine Gleichung mit 2 Variablen der Situation näher als der ursprünglich angestrebte (eingangs skizzierte) Lösungsansatz.

x: Anzahl Elefantenx + y = 12y: Anzahl Strausse4x + 2y = 34

Problemlösen geht auf allen Stufen mit Gestaltungsprozessen einher, ist an Medien gebunden, das heisst an bestimmte Darstellungsformen. Darauf bezieht sich der Lehrplanteil «Mathematisieren und Darstellen». Entsprechende Kompetenzen sind auf allen Stufen zu schulen. Viele geeignete Aufgaben sind weitgehend stufenunabhängig nutzbar. Es müssen nicht Elefanten und Strausse sein.

Im Blumenbeet tummeln
sich Spinnen und Hummeln.
Zähle die Geschöpfe:
90 Beine, 13 Köpfe.

Und es geht auch prosaischer.

Auf dem Parkplatz stehen 15 Fahrzeuge mit insgesamt 40 Rädern: Autos, Velos, und 3 Motorräder.

Wenn das Ziel ist, mathematisch denken zu lernen, bringt es wenig, Schülerinnen und Schüler serienweise Gleichungen (oder andere Aufgaben) nach einem fixen Schema lösen zu lassen. Zu tieferen Erkenntnissen führen Aufträge wie

  • Ein Problem auf verschiedene Weise ­darstellen und lösen.
  • Verschiedene Darstellungsweisen und ­Lösungswege kommentieren und diskutieren.
  • Vorteile und Grenzen verschiedener ­Darstellungsweisen reflektieren.
  • Aufgaben verändern und untersuchen, wie sich das in einer bestimmten Darstellungsweise zeigt.

Egal auf welcher Stufe Sie unterrichten: Die Elefanten und Strausse haben noch lange nicht ausgetanzt.

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