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Wie maches de die Lehrerslüt?

In drei Folgen beschreiben wir eine reale Unterrichtssequenz in einer 5. Klasse und Überlegungen, die sich eine fiktive Lehrperson dazu macht. Es geht um erste Erfahrungen mit der Wahrscheinlichkeit. Von Werner Jundt und Hansruedi Hediger.

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«Was bisher geschah» (profil 1/17)

In der ersten von drei geplanten Lektionen lernten die Schülerinnen und Schüler anhand von Wetterprognosen und Vorhersagen zu Würfel­ereignissen die Begriffe «sicher», «wahrscheinlich», «möglich», «unwahrscheinlich» und «unmöglich» kennen und gebrauchen.

Ein Spiel um Wahrscheinlichkeiten

Ich lege zehn Karten unter den Visualizer. Auf diesen ist stichwortartig je ein Ergebnis für einen Wurf mit zwei Würfeln notiert. Das gleiche Kartenset hat jedes Kind noch unzerlegt auf einem Blatt*. «Ich erkläre euch ein Spiel, das ihr anschliessend spielen werdet. Die zehn Karten, die ihr auf dem Bildschirm seht, habt ihr auch auf eurem Ausschneidebogen. Ich spiele das Spiel mal vor und erkläre dabei, wie es geht. Passt gut auf, damit ihr die Regeln nachher kennt.»

Ich würfle unter dem Visualizer mit zwei Würfeln: 2 und 6. «Was trifft zu? Welche Karten sagen etwas Richtiges?» Wir finden vier Karten. «Eine davon darf ich behalten; sie kommt in meinen Tresor. Die anderen bleiben im Spiel. Mein Ziel ist, möglichst viele Karten zu bekommen. Welche der vier möglichen nehme ich?» Sonja schlägt vor: «Mindestens eine 6». Als Begründung gibt sie an, die Karte gefalle ihr. Leo plädiert für die gleiche Karte. Mir scheint, er könnte mehr dazu sagen, wisse aber nicht recht, wie. Ich möchte jetzt zügig das Spiel einführen, solange die Aufmerksamkeit gross ist, und frage deshalb nicht nach. Die Karte 6 kommt in den Tresor.

Als Nächstes würfle ich 3 und 4. Zwei Karten passen. Renzo sagt: «Auch die Karte 9 geht!» Er versteht «über» falsch. Ich hatte eher Probleme bei den Fachausdrücken erwartet: Summe, Produkt. Es zeigt sich, dass auch Wörter wie «über», «mindestens» oder «ungerade» Hürden sein können. Und Achim hat Mühe mit der Negativformulierung «Keine Eins». – Mir fällt ein, dass Irene nach der ersten Lektion gefragt hat: «War das jetzt Mathematik oder Deutsch?» – «Ja, wenn man das so leicht trennen könnte…», habe ich geantwortet, «ohne Sprache kommen wir in keinem Fach zurecht. Jedes Gebiet hat auch seine Fachausdrücke. Und eigentlich ist Mathematik selbst eine Sprache, mit der man Gesetzmässigkeiten beschreibt.» – Ich muss bei Gelegenheit darauf eingehen. Ich spiele weiter. Beim sechsten Wurf kommt es – endlich – dazu, dass keine Karte passt. «In diesem Fall muss ich eine der verbleibenden Karten auf den Schrotthaufen legen. Diese Karte verliere ich also; die ist aus dem Spiel. Welche nehme ich?» Noah entscheidet rasch: «2 Sechser!» Und er sagt auch, warum: «Das kommt eh nicht, das ist so unwahrscheinlich.» Den Gesichtern sehe ich an, dass etliche gemerkt haben, worauf es ankommt. Da entstehen Strategien! Die Kinder scheinen für das Spiel bereit zu sein.

Spielen, entdecken, taktieren

Zuerst schneidet jedes seine zehn Karten aus. Pro Pult verteile ich zwei verschiedenfarbige Würfel. Der Farbunterschied soll klar machen, dass der Wurf (3 / 5) und der Wurf (5 / 3) nicht der Gleiche ist; dass es aber zum Beispiel nur ein Ereignis (5 / 5) gibt. Darauf gehe ich im Moment nicht explizit ein, einige werden es intuitiv erfassen. In einer späteren Phase wird es wichtig sein. Sobald zwei Pultnachbarn die Karten ausgeschnitten haben, beginnen sie zu spielen. Irene und Sacha sind nicht sicher, ob sie beide Kartensets brauchen. Sonst scheinen die Regeln klar zu sein. Rasch entwickelt sich eine angeregte Spielatmosphäre. Natürlich wird es lauter. – Achim hat Mühe mit dem Ausschneiden der Karten. Sein Partner Sven hilft ihm geduldig. So ein Kamerad ist Gold wert. Auch beim anschliessenden Spiel: Nie würde Sven seine haushohe kognitive Überlegenheit billig ausnutzen. Überhaupt herrscht an keinem Pult verbissene Konkurrenz. Das hängt wohl damit zusammen, dass die meisten das Spiel noch sehr als zufallsgesteuert wahrnehmen. Zwar stellen sie durchaus Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit an und äussern diese auch; aber dann macht der Zufall immer wieder einen Strich durch die Rechnung. «Jetzt habe ich grad die Karte 7 zum Schrott gelegt», klagt Noah, «und was würfle ich als Nächstes? Zwei Sechser – einfach fies!» Langsam gewinnt aber auch die Überzeugung Raum, dass man mit einer geschickten Auswahl der Karten – sowohl beim Einstecken wie auch beim Verwerfen – seine Gewinnchancen durchaus optimieren kann.

Das müsste bei der anschliessenden Aufgabe zum Ausdruck kommen. Zu zweit ordnen die Spielteams die zehn Ereigniskarten in die fünf «Wahrscheinlichkeitsschubladen» ein: von sicher bis unmöglich. Dabei sollen die Spielkarten des einen Sets auf ein vorbereitetes Blatt geklebt werden. Es zeigt sich, dass die Karten zu gross sind. Die einen kleben sie überlappend auf, andere falten sie um. «Schneidet die Karten doch einfach zurecht», empfehle ich, «zum Spielen kriegt ihr dann neue.» Ich überfliege, was sich auf den Blättern tut. Das oberste und das unterste Feld bleiben leer: Gut so. Im Übrigen sind die Karten meistens recht gleichmässig verteilt – was nicht den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten entspricht. Aber natürlich täuscht das Gefühl, wie ja so oft bei Zufallsereignissen. Ich bin zufrieden, wenn die Extreme wirklich zuoberst und zuunterst stehen und der Rest irgendwie dazwischen. Daraufhin muss ich die Blätter prüfen, das gibt den Anknüpfungspunkt für die nächste Lektion, wenn es darum gehen wird, den Zufall mathematisch in die Zange zu nehmen.

Günstige und mögliche Fälle

Zu Beginn der nächsten Mathematikstunde hänge ich zwei der Collagen an die Tafel. Die Kinder sind vorne im Zimmer versammelt. «Ich habe bei der Durchsicht der Blätter festgestellt, dass ihr euch in den meisten Fällen über die Zuordnung sehr einig seid», beginne ich, «aber doch nicht ganz überall: Hier hängen zwei Arbeiten, die sich widersprechen. Es geht um die Karte «Beide über 4», die von der einen Gruppe bei «wahrscheinlich» eingeteilt wurde, von der anderen bei «unwahrscheinlich». Was meint ihr dazu?» Gemurmel. Die grosse Mehrheit meint, das komme eher selten vor. «Auf wie viele Arten kann ich denn diese Karte erfüllen?», frage ich. Sven sagt «vier», Sonja «drei». Ich lasse die anderen abstimmen: Ziemlich genau halbe-halbe. Ich frage nach Begründungen. Sonja sagt: «Ich kann zwei Fünfer würfeln oder zwei Sechser oder eine Fünf und eine Sechs. Das sind drei Arten.» Noah reagiert heftig und fällt beim Handstrecken fast vom Hocker: «Aber – aber …», wirft er ein. «Warte», sage ich, «gleich kommst du dran» und nehme die beiden grossen Schaumgummiwürfel vom Gestell, einen roten und einen grünen. Ich zeige zwei Fünfen, dann zwei Sechsen, dann «rot 5» und «grün 6». «Drei Fälle», sage ich, aber …» und schaue zu Noah, und der triumphiert: «Es gibt noch die rote Sechs und die grüne Fünf!». Das ist eine sorgfältige Überlegung anhand einer Demonstration mit den beiden farbigen Würfeln wert. Ich zeige wiederholt die beiden Varianten (5 / 6) und (6 / 5), bis ich den Eindruck habe, dass alle das wirklich als zwei verschiedene Fälle wahrnehmen.

«Vier günstige Fälle also!» Ich betone das Wort «günstig», ohne dass ich es näher erläutere. Neue wichtige Begriffe, die nicht von einem Moment auf den anderen nötig sind, verwende ich bewusst und konsequent; so lasse ich meinen Schülerinnen und Schülern Zeit, sich daran zu gewöhnen. Das erspart manche Definition. «Ist das viel oder wenig: 4 günstige Fälle, verglichen mit allen möglichen Fällen? – Auf wie viele Arten können die Würfel «fallen»? Ich lasse die Würfel fallen: 1 und 5. Ich lasse die grüne 1 liegen und hebe den roten Würfel auf. «Jetzt sagt nichts, überlegt einfach: Was könnte der rote Würfel alles zeigen. Wie viele Möglichkeiten?» – Dann drehe ich den grünen Würfel am Boden mit dem Fuss auf 2. «Und wie viele Möglichkeiten hat der rote Würfel jetzt?» Dann mit der grünen 3. Ich warte. – «Im Ganzen 36». Die Einsicht kommt nicht bei allen gleich rasch, und bei einigen noch gar nicht.

Ich projiziere das 36er-Feld und erkläre, wie das Schema zu lesen ist. «Mit dieser Tafel kann man sich alle möglichen Fälle vorstellen: Die untere Zahl zeigt den roten Würfel, die obere den grünen.» Ich lege mit den Würfeln «rot 4» und «grün 4» und lasse Ella mit dem Stab das entsprechende Feld auf dem Bildschirm zeigen. Dann lege ich «rot 4» und «grün 5». Ella zeigt das richtige Feld. «Warum nicht dieses?» Ich zeige das Feld schräg darunter. «Das wäre, wenn der rote Würfel 5 hätte und der grüne 4», sagt Tim. Wir machen noch zwei, drei Übungen. Dann gehen die Schülerinnen und Schüler an ihr Pult. Sie nehmen ein Blatt mit, darauf sind zehn 36er-Felder. Unter jedem Feld steht eine der zehn Kartenbedingungen*. Unter dem Visualizer zeige ich an einem Beispiel, wie die Tafeln zu bearbeiten sind: Für jede Karte die günstigen Fälle mit dem Farbstift anfärben.

Das Ausmalen macht den wenigsten Schülerinnen und Schülern Mühe, aber die Unterschiede im Arbeitstempo sind wieder einmal krass. Einige merken bald, dass Muster entstehen. Das beschleunigt, verleitet aber auch zu unsorgfältiger Eile. Da und dort zeige ich beim Durch-die-Klasse-Gehen mit dem Finger auf eine fehlerhafte Stelle. Schon sind die ersten fertig, während andere noch an der dritten (von zehn!) Tafeln arbeiten. Ich habe es geahnt: Die drei Lektionen reichen nicht für alle. Ich muss das Festhalten der Erkenntnisse auf die nächste Stunde verschieben. Aber was mache ich an dieser Stel­le mit denen, die den Auftrag erfüllt haben?

Wie es weitergeht – und vor allem, wie die bisherigen Erfahrungen gesichert werden – , lesen Sie in der nächsten Nummer von profil, wenn es wiederum heisst «Wie maches de die Lehrerslüt?»

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